PKEET加密

带等式测试的公钥加密（PKEET）通俗讲解与数学原理分析

一、什么是 PKEET？

带等式测试的公钥加密（Public Key Encryption with Equality Test, PKEET），是一种在保密信息的同时，允许受信方判断两个密文是否加密了相同明文的加密方案。

你可以把它看作是“带比较功能的加密”，即：

不解密、不泄密、可判断内容是否一致。

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二、为什么需要 PKEET？

现实中有很多隐私场景中，我们只想知道两个值是否一样，而不想暴露值本身，例如：

• 医院之间是否接诊了同一个癌症患者？
• 银行之间是否共享了同一个风险客户？
• 匿名用户之间是否喜欢了同一部电影？
• 云存储中是否上传了重复的加密文件？

这时候就需要一种“可比较但不可识破”的加密机制，PKEET 就是为这些场景而生的。

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三、PKEET 的基本功能

PKEET 主要提供六个算法组件：

算法	功能说明
Setup	系统初始化，生成主密钥
KeyGen	用户生成自己的公钥和私钥
Encrypt	加密明文并生成可测试的密文
Decrypt	使用私钥恢复明文
TestKeyGen	为受信方生成等式测试密钥
Test	判断两个密文是否加密了相同的明文

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四、类比生活：加密后的“指纹比对”

我们可以把 PKEET 想象成：

• 把明文变成一个只有授权人才能识别的“指纹”；
• 密文中藏着这个“指纹”；
• 授权方可以把两个指纹对一下，判断是否是同一个人；
• 但看不出指纹代表谁。

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五、数学原理解析：一个基于双线性对的 PKEET 实现

现在我们深入到一个经典实现：基于**双线性对（Bilinear Pairing）**的 PKEET。

1. 数学基础

设：

• $G_1, G_2$ 是两个椭圆曲线群，阶为素数 $p$
• $e: G_1 \times G_2 \rightarrow G_T$ 是一个非退化、双线性、可计算的配对函数
• $g_1 \in G_1$, $g_2 \in G_2$ 是生成元

2. 算法结构

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🔧 Setup（系统初始化）

• 选择私有主密钥 $\alpha \in \mathbb{Z}_p$
• 设置主公钥为 $P_{pub} = g_2^\alpha \in G_2$
• 系统参数：$(G_1, G_2, G_T, e, g_1, g_2, P_{pub})$

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🔐 KeyGen（用户密钥生成）

用户选择私钥 $sk = x \in \mathbb{Z}_p$

计算公钥：

• $pk_1 = g_1^x \in G_1$
• $pk_2 = g_2^x \in G_2$

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🔏 Encrypt（加密）

给定明文 $m \in \mathbb{Z}_p$，选择随机 $r \in \mathbb{Z}_p$

• $C_1 = g_1^r \in G_1$
• $C_2 = pk_2^r \in G_2$
• $C_3 = m \cdot e(P_{pub}, pk_2)^r \in G_T$
• Tag = H(m)（哈希明文生成标签）

最终密文为 $CT = (C_1, C_2, C_3, Tag)$

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🔓 Decrypt（解密）

用私钥 $sk = x$ 解密：

$$m = \frac{C_3}{e(C_1, pk_2^\alpha)} = \frac{C_3}{e(g_1^r, g_2^{x\alpha})}$$

因为：

$$C_3 = m \cdot e(P_{pub}, pk_2)^r = m \cdot e(g_2^\alpha, g_2^x)^r = m \cdot e(g_2, g_2)^{\alpha x r}$$

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🧪 TestKeyGen（生成等式测试密钥）

系统为某个用户生成等式测试密钥：

• 令该用户的授权密钥为 $TK = \alpha$，只暴露等式测试功能

或者直接发布一个用于测试的函数，输入两个 Tag 对比即可。

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✅ Test（等式测试）

判断两个密文是否是相同明文加密：

• 比较两者的 $Tag$：即 $\text{Tag}_1 \stackrel{?}{=} \text{Tag}_2$

由于 Tag 是 $H(m)$，而 H 是不可逆的哈希，无法通过 Tag 恢复 m，但相等说明原始 m 相等。

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六、安全性分析

安全目标

安全性质	说明
语义安全性	未授权者不能从密文中恢复明文
标签隐藏性	Tag 不可逆，即使泄露也无法获取明文
可控等式测试	只有授权者才能执行 Test 操作

抗攻击性

• 对标签的保护依赖于哈希函数抗碰撞性；
• 对明文保护依赖双线性对的 Decisional Bilinear Diffie-Hellman 假设（DBDH）。

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七、PKEET 应用实例

场景	功能
医疗病例比对	医院之间加密病例，通过等式测试判断是否是同一患者
银行黑名单共享	不泄露客户身份的前提下识别重复嫌疑人
社交匹配平台	双方兴趣标签加密，通过等式测试发现匹配
云存储去重	加密文件上传，平台判断是否重复

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八、小结与展望

PKEET 是在传统加密之上增强了一种“加密下可比较性”的能力，它既保留了隐私保护的优点，又提升了数据的交互性和可用性。在数据共享日益频繁而隐私问题突出的今天，PKEET 可能会在医疗、金融、社交和云计算等多个领域成为核心加密工具。

未来研究还可能聚焦在：

• 支持模糊匹配的 PKEET
• 高效标签生成与压缩
• 与可搜索加密（PEKS）的融合

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