双线映射和计算迪菲-赫尔曼假设

现代密码学中非常重要的两个概念：Bilinear Pairings/Mappings 和 CDH Assumption

核心思想：

• 群（Group）： 你可以把“群”想象成一个集合（比如一些数字），上面定义了一种运算（比如乘法）。这个运算有一些特殊的性质，比如你总能把两个元素“乘”起来得到集合里的另一个元素，每个元素都有一个“倒数”，还有一个特殊的“1”（单位元），等等。
• 循环群（Cyclic Group）： 在循环群里，有一个特殊的元素叫做“生成元”（generator），用它自己反复进行群运算，就可以得到群里的所有其他元素。就像时钟上的指针，从12点开始，一步一步走，可以走到所有的时间点。
• 乘法循环群（Multiplicative Cyclic Group）： 这里的群运算是乘法。一个元素 $g$ 的 $x$ 次方 ($g^x$) 就是 $g$ 乘以自己 $x$ 次。
• 阶（Order）： 群的阶就是群里面元素的个数。素数阶（prime order）是指群里元素的个数是一个素数。
• 离散对数问题（Discrete Logarithm Problem - DLP）： 在循环群里，给你生成元 $g$ 和群里的一个元素 $h$，如果知道 $h = g^x$，找出这个指数 $x$ 是很难的（在密码学用的那种大群里）。这就像你知道时针从12点出发走了多少圈到达某个位置，但如果只告诉你现在是3点，很难一下子知道它走了多少圈（考虑很多圈的情况）。很多密码学的安全性都建立在这个困难性上。

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2.1 双线性配对 (Bilinear Pairings)

想象一下，你有两个“世界”（群 $\mathbb{G}$），里面住了各种“元素”。还有一个“目标世界”（群 $\mathbb{G}_T$）。双线性配对 $e$ 就像一个特殊的“桥梁”或者“翻译器”，它能把 $\mathbb{G}$ 里的两个元素“组合”起来，然后把你带到 $\mathbb{G}_T$ 里的一个元素。

正式地说：

• 你有两个乘法循环群 $\mathbb{G}$ 和一个目标乘法循环群 $\mathbb{G}_T$，它们的阶都是同一个素数 $p$。

• 有一个函数 $e$，输入是 $\mathbb{G}$ 里的两个元素（比如 $g_1$ 和 $g_2$），输出是 $\mathbb{G}_T$ 里的一个元素：$e(g_1, g_2)$。

• 这个函数 $e$ 之所以特殊，是因为它满足两个关键性质：

  1. (Bilinear / 双线性): 这是最神奇的性质。它说：如果你在输入端对元素进行指数运算，这个指数可以“移出来”变成整个输出结果的指数。

     • 公式是：$e(g_1^x, g_2^y) = e(g_1, g_2)^{xy}$
     • 通俗理解：在群 $\mathbb{G}$ 里，把 $g_1$ 乘以自己 $x$ 次得到 $g_1^x$，把 $g_2$ 乘以自己 $y$ 次得到 $g_2^y$。然后计算 $e(g_1^x, g_2^y)$。
     • 这个性质告诉我们，计算 $e(g_1^x, g_2^y)$ 的结果，等同于先计算 $e(g_1, g_2)$，然后在目标群 $\mathbb{G}_T$ 里把结果乘以自己 $xy$ 次。
     • 注意看，输入的指数 $x, y$ 变成了输出的指数 $xy$！这个能力非常强大，因为它在不知道 $x, y$ 具体数值的情况下，把指数的乘法（在指数位置上）变成了一种可以通过配对计算得到的结果（在群 $\mathbb{G}_T$ 里作为指数）。
     • 可以分解理解：$e(g_1^x, g_2) = e(g_1, g_2)^x$ 和 $e(g_1, g_2^y) = e(g_1, g_2)^y$。配对对每个输入都是“线性”的（指数可以提出来）。

  2. (Non-degenerate / 非退化): 这个性质保证配对不是无聊的、没用的。

     • 公式是：$\exists h_1, h_2 \in \mathbb{G}, e(h_1, h_2)$ is a generator of $\mathbb{G}_T$. (注：这里图片上写的是 $\mathbb{G}_1$，根据上下文应该是 $\mathbb{G}$，假设是 $\mathbb{G}$)
     • 通俗理解：存在 $\mathbb{G}$ 里的两个元素 $h_1, h_2$，它们的配对结果 $e(h_1, h_2)$ 在目标群 $\mathbb{G}_T$ 里是一个“生成元”。
     • 意思是，通过适当选择输入，配对的结果可以生成目标群 $\mathbb{G}_T$ 里的所有元素，而不仅仅是目标群里的“1”（单位元）。如果配对总是得到“1”，那就没啥用了。

• (Computable / 可计算): 实际应用中，群里的运算和配对函数 $e$ 本身必须是能用计算机有效计算出来的。

总结双线性配对： 它是一种特殊的函数 $e$ 连接两个群 $\mathbb{G}$ 和 $\mathbb{G}_T$，最关键的性质是能把输入的指数“移动”到输出，并变成输出结果的指数（且指数相乘）。这种能力在密码学中非常有用，可以用来构建身份加密、签名、零知识证明等更复杂的加密方案。

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2.2 计算迪菲-赫尔曼（CDH）假设 (Computational Diffie-Hellman (CDH) assumption)

这是一个关于计算困难性的“假设”。迪菲-赫尔曼是第一个公开密钥交换协议的发明者，这个假设就是基于他们在协议中用到的一个计算问题。

• 设定： 你有一个 $q$ 阶的乘法循环群 $\mathbb{G}$，以及它的一个生成元 $g$。

• 问题： 假设你得到了三个群里的元素：$g$, $g^x$, 和 $g^y$。这里的 $x$ 和 $y$ 是你在 $\{0, \dots, q-1\}$ 范围内的两个秘密数字，你并不知道 $x$ 和 $y$ 具体是多少。

• 任务： 你的目标是计算出群里的另一个元素 $g^{xy}$。

• CDH 假设是什么？ 计算迪菲-赫尔曼假设就是说：对于精心选择的群 $\mathbb{G}$，从已知信息 $(g, g^x, g^y)$ 计算出 $g^{xy}$ 是计算上不可行的（非常困难）。

• 为什么重要？

  • 如果你知道 $x$（通过解离散对数问题从 $g^x$ 得到），你就可以轻松计算 $g^{xy} = (g^y)^x$。同样，如果你知道 $y$，你可以计算 $g^{xy} = (g^x)^y$。CDH 假设比离散对数问题（DLP）通常被认为更难或至少一样难。如果有人能高效解决 CDH 问题，那他很可能也能解决 DLP 问题。
  • 很多密码学协议（包括原始的迪菲-赫尔曼密钥交换协议）的安全性直接依赖于这个假设。如果有人能“攻破”CDH 假设（找到一个快速计算 $g^{xy}$ 的方法），那么这些协议就不安全了。

• 为什么是“假设”？ 因为数学上没有被证明这是不可能的。它是一个基于我们目前最佳算法的认识而提出的。如果未来有人找到了一个快速算法来解决 CDH 问题，这个假设就不成立了。

总结 CDH 假设： 它是一个在特定数学群上的困难性假设，指出了在不知道指数 $x, y$ 的情况下，单单从 $g, g^x, g^y$ 这几个群元素，计算出 $g^{xy}$ 这个群元素是非常困难的。这是许多基于离散对数密码学安全性的基石之一。

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这两个概念的关系（补充）：

双线性配对提供了一种独特的计算能力：$e(g^x, g^y) = e(g, g)^{xy}$。
在 $\mathbb{G}$ 中直接从 $g^x, g^y$ 计算 $g^{xy}$ 被 CDH 假设认为是困难的。
但是，通过双线性配对，如果你在 $\mathbb{G}_T$ 中能够计算离散对数（或者说 $\mathbb{G}_T$ 中的计算更容易），那么你可以在 $\mathbb{G}_T$ 中得到 $e(g, g)^{xy}$。这个值与 $g^{xy}$ 有关联，但并不是直接得到了 $\mathbb{G}$ 中的 $g^{xy}$。双线性配对的存在有时可以“打破”一些只依赖于 CDH 假设的密码学问题，但同时它也带来了新的构建复杂密码学协议的可能性。